Bertrand Russell

Russell et les paradoxes

Russell
Bertrand Russell

Bertrand Russell est un gigantesque philosophe logicien du XXe siècle. Après la publication des Fondements de l’arithmétique par Frege (précurseur de la logique dite « analytique »), il a fait parvenir à ce dernier une lettre décrivant le paradoxe qui porte aujourd’hui son nom.

Sources et références : 

Logique pour les nuls, sur le site du Centre de logique de l’UCL

RUSSELL, B., « Mathematical Logic as Based on the Theory of Types » In American Journal of Mathematics, Vol. 30, No. 3, The Johns Hopkins University Press (Jul., 1908), pp. 222-262.

CRABBE, M., Cours et syllabus de Notions de logique et de Philosophie analytique, Louvain-la-Neuve : UCL, 2009-2010.

Paradoxes : la version ensembliste

Nous abordons ici la résolution du paradoxe selon sa version ensembliste. D’autres versions plus ou moins similaires existent (comme le paradoxe du menteur ou encore le paradoxe du barbier, que Russell utilise lui-même dans un but didactique), mais celle-ci les englobe en quelque sorte. La résolution proposée par Russell peut en effet s’appliquer au paradoxe incarné dans la proposition « je mens en ce moment » ou [la phrase écrite ici entre crochets n’est pas vraie] (cette phrase est vraie si et seulement si elle n’est pas vraie), ou encore au paradoxe du barbier qui rase toutes les personnes qui ne se rasent pas elles-mêmes (se rase-t-il lui-même ?).

Pour comprendre l’origine du cheminement de Russell, un petit détour par Frege est éclairant. En quelque sorte, Frege élargit la logique classique d’Aristote. Pour ce faire, il choisit de considérer de nouvelles « entités logiques », telles que les relations et les ensembles, par exemple. Il est également possible de quantifier ces dernières.

Le problème, c’est que ce système, ce langage en quelque sorte, contient de manière inhérente des paradoxes.

  • Avec ce système, on peut envisager des ensembles qui s’appartiennent. Par exemple, l’ensemble des étants, des choses qui « sont », qui existent, ne serait-ce qu’en imagination. L’ensemble des étants est, donc il s’appartient. L’ensemble des choses qui existent existe lui aussi, et donc il s’appartient.
    L’ensemble des ensembles, quant à lui, s’appartient également.
  • Il existe aussi des ensembles qui ne s’appartiennent pas. Par exemple, l’ensemble des chiens. L’ensemble lui-même n’est pas un chien, il ne s’appartient donc pas.
  • Enfin, nous pouvons imaginer un ensemble de tous les ensembles qui ne s’appartiennent pas. La question est : s’appartient-il ? S’il s’appartient (c’est-à-dire qu’il est un ensemble qui ne s’appartient pas), alors il ne s’appartient pas. Et vice-versa.

En langage mathématique, on a (w étant l’ensemble des ensembles qui ne s’appartiennent pas) :

Pour tout x, x appartient à w SSI x n’appartient pas à x.

C’est-à-dire qu’un ensemble appartient à w (l’ensemble des ensembles qui ne s’appartiennent pas) si et seulement si il ne s’appartient pas à lui-même.

Si on remplace x (la variable) par w (l’ensemble particulier des ensembles qui ne s’appartiennent pas), on obtient :

w appartient à w SSI w n’appartient pas à w.

C’est-à-dire que l’ensemble w s’appartient si et seulement si il ne s’appartient pas. C’est contradictoire.

La solution de Russell

La solution de Russell est au fond assez simple (ne pas entendre « simpliste »). L’idée est qu’on ne peut parler de tout à la fois. Il faut faire la différence entre « Toute » et « Chaque » chose considérée. En d’autres termes, sa solution sera de limiter le domaine de vérité de ce qu’il présente : en quelque sorte, une proposition n’est pas vraie pour tout x, mais pour tout x d’un certain type (sachant que la définition de ce type relève d’un autre type). La proposition paradoxale est donc résolue, si l’on détermine que w est d’un autre type (un type supérieur) que tous les x quantifiés.

> Lire aussi l’article Wikipédia consacré au paradoxe de Russell ou encore l’article Russell’s Paradox (en) de la Stanford Encyclopedia of Philosophy

Concrètement, cela a des retombées pratiques dans les maths et la philosophie du langage, même dans la métaphysique et l’épistémologie.

  • Dans les maths : des restrictions ou modèles alternatifs de compréhension vont être proposés quant à la vérité, la validité et la signification des énoncés ou encore des fonctions (théorie des classes).
  • Dans la philosophie du langage (Tarski aura des résultats similaires) : on va faire la différence entre différents langages, et métalangages. La vérité d’une langue se définit souvent dans une « métalangue » qui ne peut elle-même fixer ses conventions qu’en ayant recours à une « grammaire supérieure ». La langue naturelle (celle qu’on parle) est plus riche que la langue logique, mais celle-ci peut donner lieu à des paradoxes. Elle va néanmoins pouvoir servir à définir des langages logiques, des conventions, etc.
  • Dans la métaphysique et l’épistémologie : on arrive à l’idée que l’on ne peut pas définir de « vérité absolue » qui vaudrait pour tout x, sans aucune restriction (normalement, il est incorrect de le dire comme ça, dans la mesure où cela supposerait que cette phrase échappe à cette règle). Lorsque nous émettons des propositions, nous sommes toujours en présence de vérités partielles (c’est-à-dire signifiantes dans un modèle donné, en fonction de postulats, d’axiomes, de présupposés), d’un certain type, dans un certain système/langage. Contre un dogmatisme, nous avons l’idée de ces vérités partielles, relatives à un mode d’expression. Contre le relativisme, on préserve quand même l’engagement logique, pour la vérité.

Notons enfin que d’autres propositions de solution ont été apportées par rapport aux paradoxes logiques, notamment l’idée d’une logique qui aurait davantage que deux valeurs de vérité (classiquement : soit vrai (1), soit faux (0)). Cf. entre autres la notion de logique polyvalente.